Доминик родился в семье воспитательницы детского сада Джули (в девичестве Херон) и аукциониста Брайана Купера. Он обучался в школе Томаса Таллиса, а также в Лондонской академии музыки и драматического искусства, которую окончил в 2000 году. В начале 2000-х годов, Доминик снимался в рекламных роликах презервативов Durex. Несколько из этих роликов были запрещены к показу на ТВ. В частности ролик под названием Banned Commercial Durex Condom Ad.
Сначала Доминик работал на телевидении и снимался в кино в эпизодических ролях, а в 2001 году дебютировал на сцене Национального театра в Лондоне. Вскоре ему предложили роль Дакина в пьесе «Любители истории», с гастролями которой он выступал на Бродвее, в Сиднее, Веллингтоне и Гонконге. Эту роль он также исполнил в радиоверсии пьесы и в её экранизации в 2006 году.
У Доминика также были примечательные роли в фильмах «Попасть в десятку» (2006), «Герцогиня» (2008) и «Дэвид Копперфильд» (2008). Но наибольшую популярность ему принесла роль Ская, жениха Софи (в исполнении Аманды Сейфрид) в фильме «Мамма Mia!» в 2008 году.
Можно выделить роль Говарда Старка в фильме про супергероев "Первый Мститель".
Личная жизнь: Купер является лучшим другом актёра и телеведущего Джеймса Кордена, с которым одно время жил в одной квартире. Именно Доминик познакомил Джеймса с его женой Джулией и является крёстным отцом их сына Макса.
Имел отношения со своей коллегой по фильму Mamma Mia! Амандой Сейфрид. С 2010 года Купер встречался с актрисой Рут Негга. Они жили вместе в Лондоне. Они расстались друзьями в 2016 году, но пресса об этом узнала только через два года. С 2018 года состоит в отношениях с актрисой Джеммой Чан.