Отец Энгаури – режиссер Джереми Райс, а мать – писательница Кейт Райс. Когда Энгаури было пять лет, ее семья переехала в Мюнхен, где жила на протяжении года, после чего вернулась в Австралию.
Свою актерскую карьеру Райс начала со съемок в нескольких короткометражных фильмах и телевизионных роликах. В 2012 году Энгаури сыграла главную роль в короткометражном фильме Зака Хилдитча «Заражение» за что была удостоена премии как «Лучшая актриса» на Фестивале короткометражных фильмов в Сент-Килде. Позднее актриса снялась в сериалах «Доктор Блейк» и «Тайны острова Мако».
В 2016 году Энгаури сыграла роль Холли Марш в комедии «Славные парни» с Райаном Гослингом и Расселом Кроу. В этом же году актриса также снялась в фильме-фэнтези Дэвида Цезара «Потерянные: Книга теней», в котором сыграла роль злодейки со сверхъестественными способностями. Годом позднее Райс появилась в австралийской экранизации романа «Джаспер Джонс». Фильм имел большой успех и получил несколько номинаций на Премию Австралийской академии кинематографа и телевидения.
В 2018 году в прокат вышел фильм под названием «Привидение», в котором Энгаури Райс сыграла главную роль.
Можно отметить роль Бэтти Брант в фильмах киновселенной Marvel про Человека-Паука.